Pas de photo, pas d'argument d'autorité. Juste une formule, construite pas à pas, qui calcule combien de temps le Soleil reste levé — et qui ne tombe juste que si la Terre est une sphère inclinée qui tourne.
Posons un fait que personne ne conteste, ni les défenseurs d'une Terre ronde, ni ceux d'une Terre plate : la durée du jour — le temps entre le lever et le coucher du Soleil — n'est pas la même partout, ni à toutes les dates.
À l'équateur, le jour dure environ 12 heures, toute l'année. Le 21 juin comme le 21 décembre, le Soleil se lève et se couche à peu près aux mêmes heures. À Paris, c'est l'inverse : en été le jour s'étire jusqu'à plus de 16 heures, en hiver il se réduit à un peu plus de 8 heures. Vous l'observez vous-même chaque année.
La question n'est donc pas « la durée du jour change-t-elle ? » — c'est observable — mais « quelle forme de la Terre produit exactement ce comportement ? ». Nous allons construire, brique par brique, une fonction mathématique qui calcule cette durée à partir de seulement deux nombres : le jour de l'année \(j\) et la latitude \(\varphi\) du lieu. Si cette fonction, bâtie sur l'hypothèse d'une sphère inclinée, recrache les durées réellement mesurées à Paris, à l'équateur et au pôle, alors le débat est tranché par le calcul.
Une précision d'honnêteté avant de commencer : on s'adresse ici à un lecteur sceptique, et le scepticisme est une bonne chose quand il mène à vérifier soi-même. C'est exactement ce que permet une formule : vous n'aurez à croire personne. Vous brancherez les nombres dans une calculatrice et vous comparerez le résultat à l'horloge.
La durée du jour à Paris monte de l'hiver à l'été, puis redescend, puis remonte, indéfiniment, avec une régularité d'horloge. En mathématiques, la courbe qui décrit ce genre de va-et-vient régulier porte un nom : la sinusoïde, le graphe de la fonction sinus.
Une sinusoïde générale s'écrit ainsi :
Chaque lettre a un rôle concret, et c'est tout ce qu'il faut comprendre :
La ligne autour de laquelle la courbe oscille. Pour la durée du jour, ce sera 12 heures : on passe autant de temps au-dessus qu'en dessous au fil de l'année.
De combien on s'écarte, au maximum, de la moyenne. À l'équateur \(A = 0\) (jamais d'écart : 12 h fixe). À Paris \(A \approx 4\) h (on monte à 16 h, on descend à 8 h).
La vitesse à laquelle on parcourt le cycle. Elle fixe la période : ici, un cycle complet = une année. C'est l'objet de la brique n°2.
Le réglage horizontal : il décide à quelle date la courbe atteint son sommet. On le calera sur le solstice d'été.
Pourquoi le sinus précisément, et pas une autre courbe ? Parce que le sinus est la fonction du mouvement circulaire. Dès qu'un phénomène vient d'un objet qui tourne — et la Terre tourne, à la fois sur elle-même et autour du Soleil — le sinus apparaît naturellement. C'est le premier indice que la rondeur et la rotation sont au cœur du problème.
"Le sinus n'est pas une formule abstraite tombée du ciel : c'est littéralement la hauteur d'un point sur un cercle quand on le fait tourner. Là où il y a de la rotation, il y a du sinus."
— Principe directeur de l'articleLe sinus ne mange pas des « jours » : il mange des angles, mesurés en radians. Il faut donc traduire « nous sommes le 100ᵉ jour de l'année » en un angle. C'est tout le rôle du facteur \( \dfrac{2\pi}{365{,}25} \), et il se comprend en trois temps.
Un tour complet = 2π. En radians, faire un tour entier de cercle correspond à un angle de \(2\pi\) (soit environ 6,283). C'est la définition même du radian : \(2\pi\) radians = 360°. Or une année, c'est exactement cela du point de vue de la Terre — un tour complet autour du Soleil, qui la ramène à son point de départ.
Une année = 365,25 jours. La Terre met un peu plus de 365 jours à boucler son orbite — 365,25 précisément (c'est ce quart de jour qui nous oblige à ajouter un 29 février tous les 4 ans). Ce nombre n'est pas choisi : il est mesuré.
Pour répartir un tour complet (\(2\pi\)) sur toute l'année (365,25 jours), on partage l'un par l'autre. Chaque jour qui passe fait donc avancer notre angle de :
Un tout petit angle chaque jour… qui, multiplié par 365,25 jours, redonne exactement \(2\pi\) : un tour bouclé.
Ainsi, l'expression \( \dfrac{2\pi}{365{,}25}\times j \) convertit le numéro du jour \(j\) en la position de la Terre sur son orbite, exprimée comme un angle. Le 1ᵉʳ janvier, l'angle est presque nul ; à la mi-année, on est à mi-tour (\(\pi\)) ; au 31 décembre, on a presque bouclé \(2\pi\). C'est la « grande aiguille » de l'année, et c'est elle qu'on va glisser dans le sinus.
Ce facteur \(2\pi/365{,}25\) n'a de sens que parce que la Terre boucle un cycle fermé. Une trajectoire qui revient à son point de départ chaque année, c'est la signature d'une orbite — d'un mouvement de rotation. On ne fait ici qu'écrire cette rotation en langage mathématique.
Quatre fonctions trigonométriques vont entrer en scène. Plutôt que de les subir, regardons exactement ce que chacune fait — toutes se lisent sur un simple cercle de rayon 1, où l'on place un point repéré par un angle.
La hauteur du point sur le cercle. Vaut 0 à l'horizontale, 1 au sommet. C'est notre mesure de « à quel point on penche vers le haut » — idéale pour décrire une élévation.
La largeur du point (sa position horizontale). Vaut 1 à droite, 0 en haut, −1 à gauche. Sinus et cosinus sont les deux coordonnées d'un point qui tourne.
La pente associée à l'angle. Elle mesure « combien je monte quand j'avance ». Elle relie une inclinaison à un rapport de longueurs — parfaite pour comparer la latitude et l'inclinaison du Soleil.
La fonction inverse du cosinus : on lui donne un cosinus, elle rend l'angle correspondant. Quand notre équation nous donnera \(\cos(\text{angle})\), c'est arccos qui nous rendra l'angle cherché.
Retenez surtout le rôle de la tangente. Un angle de latitude, un angle d'inclinaison du Soleil : ce sont deux pentes. Et comparer deux pentes, c'est comparer deux tangentes. C'est pour cela que la formule finale fera apparaître \(\tan\varphi\) et \(\tan\delta\) côte à côte : elle confronte la pente du lieu où vous êtes à la pente sous laquelle le Soleil éclaire.
"Une fois qu'on sait que sinus = hauteur, cosinus = largeur et tangente = pente, la trigonométrie cesse d'être un vocabulaire et devient une boîte à outils géométrique."
— Fil conducteur de la démonstrationVoici l'idée physique centrale, et la raison pour laquelle une Terre plate ne peut pas reproduire nos observations. L'axe autour duquel la Terre tourne n'est pas droit par rapport à son orbite : il est penché de 23,44°. Du coup, au fil de l'année, le point de la Terre où le Soleil tape exactement à la verticale se déplace, du tropique Nord au tropique Sud et retour.
La latitude où le Soleil est au zénith à midi s'appelle la déclinaison du Soleil, notée \(\delta\). C'est une quantité qui oscille lentement sur l'année entre \(+23{,}44°\) (solstice de juin, le Soleil est au plus haut au Nord) et \(-23{,}44°\) (solstice de décembre). Une oscillation régulière, sur un an, entre deux extrêmes opposés : c'est exactement la définition d'une sinusoïde. On réutilise donc les briques 1 et 2 :
L'amplitude 23,44° = l'inclinaison de l'axe. Le « −81 » cale le zéro sur l'équinoxe de printemps (≈ 21 mars, 81ᵉ jour), moment où la déclinaison passe par 0 en montant.
Décortiquons chaque morceau, car tout y est porteur de sens : l'amplitude 23,44° n'est pas réglable, c'est la mesure de l'inclinaison de la Terre ; le facteur \(2\pi/365{,}25\) est notre « aiguille de l'année » de la brique 2 ; le décalage \(-81\) aligne simplement la courbe sur le calendrier, pour que \(\delta = 0\) tombe bien à l'équinoxe, quand le Soleil est pile au-dessus de l'équateur.
Sur une Terre plate posée sous un Soleil, on pourrait à la rigueur faire varier une « hauteur » du Soleil — mais on ne peut pas faire apparaître une latitude précise (\(\pm 23{,}44°\)) où il tape à la verticale, ni expliquer pourquoi cette latitude se déplace symétriquement de part et d'autre de l'équateur. La déclinaison est une notion qui n'a de sens que sur une sphère inclinée. Gardons \(\delta(j)\) de côté : c'est l'ingrédient « date » de notre recette.
On a la « date » (\(\delta\)). Il manque le « lieu » (la latitude \(\varphi\)), et la façon de les combiner. Chaque jour, votre ville décrit un cercle complet de 360° en 24 heures à cause de la rotation de la Terre. La question « combien de temps le Soleil est-il levé ? » revient à : quelle portion de ce cercle se déroule au-dessus de l'horizon ?
On appelle angle horaire du coucher, noté \(H_0\), le demi-arc de jour : l'angle entre le midi solaire (Soleil au plus haut) et l'instant du coucher. La géométrie de la sphère donne une relation remarquablement simple entre cet angle, la latitude \(\varphi\) et la déclinaison \(\delta\) :
D'où sort cette formule ? De la condition « le Soleil est pile sur l'horizon » (hauteur nulle). En projetant la position du Soleil sur la sphère, sa hauteur s'écrit \( \sin(\text{hauteur}) = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H \). Au lever et au coucher, la hauteur vaut 0, donc \(\sin = 0\). En isolant, les sinus et cosinus se regroupent en tangentes et il reste exactement \( \cos H_0 = -\tan\varphi\,\tan\delta \). Vous voyez ici pourquoi la tangente apparaît : elle naît du rapport \(\sin/\cos\) quand on compare la pente du lieu (\(\varphi\)) à la pente d'éclairement (\(\delta\)).
Reste à transformer cet angle en heures. La Terre tourne de \(360°\) en \(24\) h, soit \(15°\) par heure. Le jour couvre l'arc complet \(2H_0\) (de l'aube au crépuscule, c'est-à-dire deux fois le demi-arc). En radians, comme un tour entier \(2\pi\) correspond à 24 h, l'arc \(2H_0\) correspond à \( \dfrac{2H_0}{2\pi}\times 24 \) heures. On tient notre conversion.
On rassemble les cinq briques. L'angle horaire \(H_0\) se récupère avec l'arccosinus (l'inverse du cosinus), puis on le convertit en heures. La durée du jour \(D\), en heures, en fonction du jour \(j\) et de la latitude \(\varphi\), s'écrit :
Le \(24/\pi\) vient de la conversion « arc → heures » : un demi-tour \(\pi\) vaut 12 h, donc l'arc complet \(2H_0\) en radians fois \(24/2\pi = 12/\pi\)… porté au double pour le jour entier donne \(24/\pi\) devant l'angle \(H_0\).
Maintenant, le moment de vérité. Cette formule a été bâtie uniquement sur l'hypothèse « sphère inclinée qui tourne ». Elle ne contient aucun réglage caché. Testons-la sur les deux lieux du pari.
À l'équateur, la latitude vaut 0. Or \( \tan(0°) = 0 \). Le produit \( -\tan\varphi\,\tan\delta \) devient donc \(0\), quelle que soit la date. Et \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \). D'où :
La formule prédit donc exactement le lieu postulé au début : à l'équateur, le jour dure 12 h, été comme hiver. Pas par hasard — parce que \(\tan(0)=0\) efface complètement l'effet de la saison. C'est précisément ce qu'on observe.
À Paris, \( \tan(48{,}85°) \approx 1{,}144 \). Au solstice d'été, \( \delta = +23{,}44° \) et \( \tan(23{,}44°) \approx 0{,}434 \). Alors :
En heures : \( D = \dfrac{2 \times 119{,}7}{15} \approx 15{,}96 \) h, soit près de 16 heures. Au solstice d'hiver, \(\delta = -23{,}44°\) inverse le signe, \( \cos H_0 \approx +0{,}497 \), \( H_0 \approx 60{,}3° \) et \( D \approx 8{,}0 \) h. La formule prédit donc un jour qui oscille de 8 h à 16 h à Paris.
1. Tape \( \tan(48{,}85) \) en degrés → tu obtiens ≈ 1,144.
2. Multiplie par \( \tan(23{,}44) \approx 0{,}434 \) → ≈ 0,497, puis mets un signe moins.
3. Fais \( \arccos(-0{,}497) \) → ≈ 119,7°. Multiplie par 2, divise par 15 → ≈ 15,96 h.
Compare à l'horloge : le 21 juin, Paris a un jour mesuré de 16 h 14. L'écart de ~15 min vient de deux effets réels que notre modèle simplifié néglige : la réfraction atmosphérique (l'air courbe la lumière et fait « lever » le Soleil un peu plus tôt) et le diamètre apparent du Soleil (on compte le jour dès que son bord apparaît). Le squelette géométrique, lui, est juste.
Traçons \(D(j,\varphi)\) sur une année entière, pour trois latitudes. La courbe plate, c'est l'équateur ; la vague ample, c'est Paris ; la vague extrême qui touche presque le jour permanent, c'est le cercle polaire.
La formule fonctionne. Mais un sceptique averti dira : « peut-être qu'une autre forme donnerait les mêmes nombres ». Voici quatre faits que seule la géométrie sphérique prédit, et qu'un disque plat ne peut pas reproduire sans se contredire.
Bâtie sur la seule géométrie d'une sphère inclinée, la formule prédit les durées réelles à 15 minutes près partout sur Terre. Aucun modèle plat ne fournit une fonction \(D(j,\varphi)\) qui colle aux mesures.
Quand \(|\tan\varphi\,\tan\delta| > 1\), l'arccosinus n'a plus de solution : le Soleil ne se couche pas (24 h) ou ne se lève pas (0 h). C'est le soleil de minuit, observé en Laponie et en Antarctique. Inexplicable sur un disque.
Une latitude \(\varphi\) négative (hémisphère Sud) renverse le rôle du signe de \(\delta\) : le jour le plus long de Sydney tombe en décembre. La même formule prédit les deux hémisphères opposés. Un seul disque ne le peut pas.
Plus on s'éloigne de l'équateur, plus \(\tan\varphi\) est grand, plus l'écart été/hiver se creuse — exactement ce que mesurent les villes du Nord au Sud. La courbe suit la latitude, pas la distance à un centre.
Nous n'avons utilisé ni satellite, ni photo, ni serment. Nous avons posé une hypothèse géométrique — une boule penchée qui tourne autour du Soleil — et nous l'avons traduite en une fonction. Cette fonction prédit, sans rien ajuster, qu'il existe un lieu à 12 h constant (l'équateur), un lieu qui oscille de 8 à 16 h (Paris), des lieux où le Soleil disparaît ou ne se couche jamais pendant des mois (les pôles), et des saisons inversées entre les deux hémisphères. Toutes ces prédictions correspondent à ce que des millions de gens mesurent chaque jour avec une simple horloge.
Une théorie n'a pas besoin qu'on y croie : elle a besoin de prédire le réel. Le modèle de la Terre plate ne produit aucune formule capable de reproduire ce tableau. Le modèle de la sphère inclinée le produit en une ligne. Le verdict ne vient pas d'une autorité — il vient de votre calculatrice.
"Donnez-moi le jour de l'année et votre latitude, je vous dis l'heure du coucher du Soleil. Si je tombe juste à chaque fois, et que je ne le peux qu'en supposant la Terre ronde, alors la Terre est ronde."
— L'esprit de la démonstration